Turniej II, Etap I

(1 pkt) W chwili \(t=0\) s spoczywający w windzie znajdującej się na parterze budynku telefon zaczął rejestrować wskazania akcelerometru. W wyniku analizy tych pomiarów otrzymano następujący wykres zarejestrowanego przyspieszenia w kierunku pionowym. Jeśli odległość między kondygnacjami budynku wynosi 6m, na którym piętrze ostatecznie zatrzymała się winda?

(1 pkt.) Wykonano zdjęcie obracającego się walca (z boku wzdłuż osi symetrii obrotowej walca). Na podstawie rozmycia obrazu w czasie naświetlania ustalono, że chwilowa prędkość punktu A walca wynosiła \(\vec{v}_{A}=[-9,-8]\) m/s. Punktu B wynosiła zaś \(\vec{v}_{B}=[-9,-34]\) m/s. Promień walca wynosi 2 m. Na tej podstawie obliczyć współrzędne wektora prędkości środka masy walca \(\vec{v}_{0}=[v_{x},v_{y}]\) m/s. Jako odpowiedź podać \(100|v_{x}|+123|v_{y}|\).

(1 pkt.) Dwie cienkie soczewki posiadają wspólną oś optyczną. Ich ogniskowe wynoszą odpowiednio \(f_{1}=20\textrm{ cm}\) oraz \(f_{2}=50\textrm{ cm}\). Przed pierwszą soczewką w odległości \(x>f_{1}\) znajduje się przedmiot. Na ekranie znajdującym się za drugą soczewką w pewnej odległości dostosowanej do \(x\) tworzy się~obraz rzeczywisty przedmiotu. Okazuje się, że niezależnie od \(x\) obraz na ekranie ma zawsze ten sam rozmiar, niezależnie od położenia przedmiotu. Ile wynosi \(d\) - odległość między soczewkami? Jako odpowiedź wyślij liczbę oznaczającą \(d\) w centymetrach, zaokrągloną w dół do najbliższej liczby całkowitej.

(1 pkt.) W inercjalnym układzie odniesienia Obserwatora znajdują się dwa punktowe źródła światła odległe o \(10^{6}\textrm{ km}.\) W układzie współrzędnych Obserwatora oba źródła świecą krótkimi impulsami światła emitowanymi periodycznie co 100 s, przy czym źródło pierwsze zaświeca się dokładnie 2 s przed źródłem drugim. Następnie, Obserwator rozpoczyna ruch wzdłuż prostej zawierającej oba źródła światła z pewną prędkością \(v\). W tym układzie współrzędnych źródła zaświecają się w tym samym czasie. Jaka jest odległość dzieląca źródła w tym układzie współrzędnych wyrażona w metrach? Odpowiedź zaokrąglij w dół do liczby całkowitej. Rozwiąż zadanie odnosząc się do szczególnej teorii względności (STW). Do obliczeń przyjmij prędkość światła \(c=299792458\ \textrm{m/s}\), tj. wartość dokładną w układzie SI dla próżni. Układ odniesienia dla Obserwatora poruszającego się z prędkością \(v\) jest również inercjalny.

(1 pkt.) W pewnej zatoce po powierzchni wody pływa kwadratowa drewniana płyta w kształcie kwadratu. Grubość płyty jest bardzo mała w porównaniu do długości krawędzi płyty. Płyta pływa tak, że jej kwadratowa podstawa jest równoległa do powierzchni wody. Gęstość drewna wynosi \(\rho=700{\ \textrm{kg}/\textrm{m}^{3}},\) zaś gęstość wody: \(\rho_{w}=1000{\ \textrm{kg}/\textrm{m}^{3}},\) Jeśli na środku płyty umieścimy dużą małpę o masie \(M\), wówczas górna powierzchnia płyty pokrywa się z powierzchnią wody. Jeśli na płytę wejdzie jedynie mniejsza małpa o masie \(m < M\) i stanie na brzegu płyty, by zobaczyć swoje odbicie w wodzie, wówczas płyta nieco przechyli się. Jaka jest maksymalna masa mniejszej małpy, by górna powierzchnia płyty pozostawała cała tuż nad powierzchnią wody? Zakładamy brak poślizgu obu małp. Zakładamy, że obie sytuacje są statyczne, to jest w pierwszym przypadku małpa spoczywa na środku płyty, a w drugim przypadku mniejsza małpa spoczywa blisko środka krawędzi płyty. Nie rozważamy fal na wodzie. Jako odpowiedź podaj wartość ilorazu \(100\ M/m\) zaokrągloną w dół do najbliższej liczby całkowitej.

(1 pkt.) Rozważamy naroże metalowego przewodzącego kontenera, który rozpatrujemy jako sumę półpłaszczyzn jak na rysunku. Półpłaszczyzny są ograniczone wspólną prostą, zawarte są w płaszczyznach przecinających się pod kątem prostym. W odległości \(r\) od tej prostej umieszczony jest mały układ dwóch ładunków elektrycznych \(q\) i \(-q\) w odległości \(d\ll r\) od siebie (w układzie 2 ładunków odległość między ładunkami nie zmienia się). W przekroju poprzecznym ładunki leżą na zewnątrz kontenera na prostej wychodzącej pod kątem 45\(^{\circ}\) z narożnika kontenera (rysunek). Wzajemne oddziaływanie kontenera i ładunków wiąże się z siłą \(\vec{F}\) działającą na ładunki. Jeśli odległość \(r\) zwiększymy 3-krotnie, to ile razy zmaleje siła oddziaływania ładunków i przewodnika? Zakładamy, że poza kontenerem jest próżnia.

(1 pkt.) Kondensator próżniowy to układ dwóch równoległych płaszczyzn każda o powierzchni \(S=1\:\textrm{m}^{2}\). Pojemność kondensatora opisana jest zależnością \(C=\frac{S\epsilon_{0}\epsilon_{r}}{d}\). Obie płaszczyzny mają masę \(m\) i są połączone dwoma sprężynami o stałej sprężystości \(k=1\ \frac{\textrm{N}}{\textrm{m}}\). Pozycja równowagi odpowiada sytuacji kiedy odległość między okładkami wynosi \(d=1\:\textrm{mm}\). Układ ten wykonuje drgania harmoniczne o częstotliwości \(f_{1}\). Jeśli do okładek kondensatora przyłożymy napięcie \(U=10\ \textrm{V}\), wówczas częstotliwość małych drgań wokół pozycji równowagi to \(f_{2}\). Jako odpowiedź podać \(1000f_{1}/f_{2}\) zaokrąglone w dół do najbliższej liczby całkowitej. Zakładamy, że przewody łączące okładki kondensatora z resztą układu są wiotkie i są~bezoporowe, pomijamy też indukcyjność okablowania. Pomijamy siłę grawitacji, opory powietrza. Zakładamy, że cały układ znajduje się w próżni, \(\varepsilon_{r}=1.\) Przenikalność elektryczna próżni \(\varepsilon_{0}=8.854\times10^{-12}\ \frac{\textrm{F}}{\textrm{m}}\) . Oporność wewnętrzną zasilacza można pominąć. Sprężyny wykonane są z izolatora, ich wpływ na pojemność kondensatora pomijamy. Zakładamy, że amplituda drgań \(\Delta x\) jest bardzo mała w porównaniu do odległości między okładkami kondensatora, \(\Delta x\ll d\).

(tekst dotyczy zadań 8 i 9 - każde 1 pkt.). Horacy zobaczył metalową siatkę składających się z odcinków drutu połączonych tak, by dwuwymiarowa powierzchnia siatki składała się z trójkątów równobocznych stykających się krawędziami i wierzchołkami (rysunek). Każda krawędź ma opór elektryczny \(R.\) Horacy od razu pomyślał o znanym problemie wyznaczania oporu elektrycznego w siatce złożonej ze stykających się kwadratów, kiedy obliczamy opór zastępczy między sąsiednimi wierzchołkami takiego nieskończonego układu. Wówczas opór zastępczy wynosi \(R/2\).

Ile wynosi opór zastępczy \(R_{Z}\) między \(A\) i \(B\) jeśli metalowa siatka jest nieskończona? Jako odpowiedź podaj wartość ilorazu \(100R/R_{Z}\) zaokrąglonego do najniższej liczby całkowitej. W celu obliczenia oporu zastępczego między \(A\) i \(C\) możesz posłużyć się własnoręcznie napisanym programem komputerowym. Możliwy schemat obliczeń: Rozważamy skończony fragment sieci ,,średnicy'' N (rysunek), zbiór \({\cal V}\) oznacza zbiór wszystkich wierzchołków, określamy przez \(\partial{\cal V}\) wierzchołki brzegowe (oznaczone na czerwono), zachodzi wtedy \({\cal V}=\partial{\cal V}\cup{\cal V}_{0}\cup\{A\}\cup\{C\}\) przy czym zbiory \(\partial{\cal V},{\cal V}_{0},\{A\},\{C\}\) są parami rozłączne. Niech \(d(i,i')\) oznacza ,,wierzchołki \(i\) oraz \(i'\) są połączone krawędzią siatki''. Dążymy do znalezienia potencjału elektrycznego dla każdego wierzchołka \(i\in{\cal {\cal V}}\) tak by:

• \(V_{i}=0,\ i\in\partial{\cal V}\)
• \(V_{A}=-U/2\)
• \(V_{C}=U/2\),
• \(V_{i}=\frac{1}{6}\sum_{j\in{\cal V}:d(i,j)}V_{j},\ i\in{\cal V}_{0}\)

Ostatni warunek zapewnia spełnienie I prawa Kirchhoffa. W celu znalezienia takich \(V_{i}\) można posłużyć się procedurą iteracyjną, w której będziemy wykonywać ,,kroki'' indeksowane \(n.\) W kroku początkowym \(n=0\) definiujemy \(V_{A}^{[n=0]}=-U/2,V_{C}^{[n=0]}=U/2,V_{i}^{[0]}=0,\ i\in\partial{\cal V}\), oraz \(V_{i}^{[0]}=0,i\in{\cal V}_{0}.\) W kolejnych krokach wykonujemy iterację:
\[ V_{i}^{[n+1]}=\frac{1}{6}\sum_{j\in{\cal V}:d(i,j)}V_{j}^{[n]},\ i\in{\cal {\cal V}}_{0} \] Zaś \(V_{i}^{[n+1]}=0,i\in{\cal \partial V}\) oraz \(V_{A}^{[n+1]}=-U/2\), \(V_{C}^{[n+1]}=U/2\). Po odpowiednio dużej ilości iteracji wartości \(V_{i}^{[n]}\) przestaną się zmieniać, co pozwoli odczytać wartość \(R/R_{Z}\) dla ustalonego \(N\). W celu finalizacji wystarczy zgromadzić pewną liczbę wartości \(R_{Z}\) dla coraz większych \(N\) i dokonać przejścia \(N\to\infty\).

(1 pkt.) (drugie pytanie do zadania 8) Ile wynosi iloraz \(100R/R_{Z},\) jeśli \(R_{Z}\) jest oporem zastępczym między \(A\) i \(C\) w przypadku nieskończonej kratownicy (jak na rysunku)? Odpowiedź zaokrąglić w dół do liczby całkowitej.