Turniej I, Etap I

(1 pkt) Małpa A siedzi na gałęzi drzewa, 20 metrów nad ziemią. Na ziemi, w odległości 20 metrów od punktu na powierzchni ziemi, nad którym siedzi małpa A, obserwuje ją małpa B. W momencie gdy A puściła się z gałęzi i zaczęła spadać z przyspieszeniem ziemskim, małpa B rzuciła banana tak, że małpa A złapała go w locie. Jaki kąt \(\theta\) (zobacz rysunek) tworzyła prędkość początkowa banana w stosunku do powierzchni ziemi? Zakładamy płaską powierzchnię ziemi. Pomijamy rozmiary obu małp, w tym długość ramion, rozmiar samego banana, siły oporu powietrza. Podaj odpowiedź wyrażoną w stopniach, tzn. jeśli odpowiedzią jest np. \(30^{\circ}\), wpisz 30.

(1 pkt) Na każdej z trzech pochylni jak na rysunku poniżej kładziemy na tej samej wysokości identyczną kulkę, która następnie toczy się swobodnie, bez poślizgu i podskakiwania. Krzywa wyznaczająca kształt pochylni jest w przypadku dwóch pochylni łukiem okręgu o promieniu \(r=5a.\) Uszereguj numery pochylni 1, 2, 3 rosnąco względem czasu, w którym kulka dotarła do końca toru. Tak utworzoną liczbę trzycyfrową zapisz jako odpowiedź, tzn. jeśli uważasz na przykład, że środkowa pochylnia odpowiada najdłuższemu czasowi zjazdu kulki, a kulka będzie zjeżdżała najkrócej z trzeciej pochylni, wówczas jako odpowiedź przyjmij 312.

(1 pkt) Dane są dwie naładowane kulki o ładunkach \(q\) i \(-q\), znajdujące się w odległości \(r\) od siebie i w odległości \(R\gg r\) od nieskończonej przewodzącej płaszczyzny. Kulki połączone są sztywnym prętem, który nie przewodzi ładunków, a jego polaryzację dielektryczną można pominąć. Ile razy zmaleje siła oddziaływania między układem dwóch kulek a płaszczyzną, jeśli dystans \(R\) zostanie zwiększony trzykrotnie?

(1/2 pkt) Chłopiec rzucił piłkę pionowo w górę. Po osiągnięciu wysokości 10 m piłka zaczęła spadać. W którym momencie lotu spośród podanych poniżej piłka miała największe przyspieszenie? Pomijamy opór powietrza i rozważamy tylko ruch piłki po uwolnieniu z ręki dziecka.

1. tuż po uwolnieniu piłki z ręki dziecka,
2. tuż przed zderzeniem piłki z ziemią,
3. w najwyższym punkcie lotu,
4. przyspieszenie piłki pozostaje stałe w czasie jej lotu.

(1/2 pkt) Chłopiec rzucił piłkę pionowo w górę. Po osiągnięciu wysokości 10 m piłka zaczęła spadać. W którym momencie lotu spośród podanych poniżej piłka miała największe przyspieszenie? \textbf{Uwzględniamy opór powietrza} i rozważamy tylko ruch piłki po uwolnieniu z ręki dziecka.

1. tuż po uwolnieniu piłki z ręki dziecka,
2. tuż przed zderzeniem piłki z ziemią,
3. w najwyższym punkcie lotu,
4. przyspieszenie piłki pozostaje stałe w czasie jej lotu.

(1 pkt) Układ na rysunku zbudowany jest z wahadła fizycznego i dwóch sprężyn z \(k_{1}=10\textrm{ N}/\textrm{m}\) i \(k_{2}=10\textrm{ N}/\textrm{m}\). Wahadło składa się z krążka o masie \(m=10\textrm{ kg}\) i promieniu \(r=20\textrm{ cm}\) oraz pręta, którego całkowita długość wynosi \(l=1\textrm{m}\) (wymiary poprzeczne są pomijalne), a masa również wynosi \(m\). Jedna ze sprężyn przyczepiona jest w połowie, druga w 3/4 długości pręta. Krążek obraca się wokół swojego środka swobodnie, bez tarcia. Obliczyć okres \(T\) małych drgań wokół punktu równowagi, w którym pręt zwisa pionowo w dół. Jako odpowiedź podać wartość numeryczną \(T\) wyrażoną w milisekundach, zaokrągloną w dół do całkowitej liczby milisekund. Przyjąć \(g=9.81\textrm{ m}/\textrm{s}^{2}\) oraz, że masy sprężyn są pomijalnie małe.

(1/2 pkt.) Treść obowiązuje do zadań 7 i 8. Jedną ze standardowych metod konstrukcji fraktali jest wykorzystanie samopodobieństwa. Możemy skonstruować trójkąt Sierpińskiego przez następującą procedurę iteracyjną. Punktem wyjścia jest trójkąt równoboczny (razem z bokami), \(T_{0}\). Rozważamy następnie trójkąt jednokładny do niego w skali 1/2 (patrz rysunek) i trzy kopie takiego zmniejszonego trójkąta umieszczamy w narożnikach wyjściowego trójkąta, zgodnie z rysunkiem. W wyniku tej procedury uzyskujemy zbiór \(T_{1},\) którego obrysem zewnętrznym znów jest trójkąt.



Krok składający się ze skalowania, trzykrotnego kopiowania i przesuwania możemy teraz wykonywać wielokrotnie. Po kolejnych krokach otrzymamy zbiory \(T_{2},T_{3},\ldots\) Kolejny zbiór zawsze będzie podzbiorem poprzedniego, \(T_{n}\supset T_{n+1}\) . W granicy ,,nieskończonej liczby kroków'' otrzymujemy zbiór, który nazywamy trójkątem Sierpińskiego. Formalnie jest nim \({T_{\infty}=\bigcap_{i=0}^{\infty}}T_{i}\).
Trójkąt Sierpińskiego \(T_{\infty}\) nie opisuje realnie istniejącej bryły, ze względu chociażby na ziarnistość materii. W zadaniu interesować nas będą graniastosłupy o podstawach \(T_{n}\).





Zakładamy: masę graniastosłupa \(M=1\textrm{ kg}\), długość boku podstawy graniastosłupa \(a=100\textrm{ mm}\), wysokość graniastosłupa \(h=100\textrm{ mm}\).

Jako Zadanie 7, obliczyć moment bezwładności graniastosłupa o podstawie \(T_{1}\) przy obrocie wokół osi prostopadłej do podstawy graniastosłupa, przechodzącej przez środek masy graniastosłupa (zakładamy stałą gęstość graniastosłupa). Jako odpowiedź podać wartość numeryczną momentu bezwładności \(I\) wyrażonego w \(\textrm{kg}\cdot\textrm{mm}^2\). Odpowiedź zaokrąglić w dół do najbliższej liczby całkowitej. Np. jeśli odpowiedź to 123.756 \(\textrm{kg}\cdot\textrm{mm}^2\), wpisz "123" do formularza.

(1/2 pkt.) Obliczyć \(I_n\), moment bezwładności graniastosłupa jak w Zadaniu 7, ale o podstawie \(T_{n}\) przy obrocie wokół osi prostopadłej do podstawy graniastosłupa, przechodzącej przez środek masy graniastosłupa (zakładamy stałą gęstość graniastosłupa). W granicy \(n\to \infty\) wielkość \(I_n\) zbiega do \(I_\infty\). Jako odpowiedź podać wartość \(I_\infty\) wyrażoną w \(\textrm{kg}\cdot\textrm{mm}^2\). Wartość \(I_\infty\) zaokrąglić w dół do najbliższej liczby całkowitej. Np. jeśli odpowiedź to 123.756 \(\textrm{kg}\cdot\textrm{mm}^2\), wpisz "123" do formularza.

(1 pkt) Rozważamy dwie kulki, których ruch odbywa się wzdłuż osi X. W obu przypadkach punkt \(x=0\) jest punktem równowagi. Po wychyleniu pierwszej kulki, \(x\neq0\) działa na nią siła \(F_{1}=-k_{1}x\). Mamy więc w tym przypadku do czynienia z oscylatorem harmonicznym. W przypadku drugiej kulki na kulkę działa siła \(F_{2}=-k_{2}x^{3}.\) W drugim przypadku kulka wykonuje ruch okresowy, jednak nie harmoniczny. Obie kulki mają identyczną masę \(m=1\textrm{ g},\) pomijamy tarcie, grawitację i opór powietrza. Dla wychylenia \(x_{0}=1\textrm{ mm, }k_{1}=100\textrm{ N/m, }k_{2}=10^{8}\textrm{ N/m}^{3}\) zachodzi równość sił \(F_{1}=F_{2}.\) Kulki początkowo wychylono o \(2x_{0}\) i puszczono swobodnie (prędkość początkowa: 0 m/s). Obie kulki wykonują ruch okresowy o okresach odpowiednio, \(T_{1},T_{2}.\) Oblicz \(T_{2}/T_{1}\). Jako wynik podaj 1000\(T_{2}/T_{1}\) zaokrąglone w dół do najbliższej liczby całkowitej.

(1 pkt) Poniższy układ składa się z elementów: oporników o oporze \(R=101\textrm{ }\Omega\), kondensatorów o pojemności \(C=1\textrm{ mF}\), cewek o indukcyjności \(L=1\textrm{ mH},\) które tworzą krawędzie sześcianu (jak na rysunku). Jest on zasilany generatorem prądu przemiennego, \(U(t)=U_{0}\cos(\omega t)\), gdzie \(U_{0}=12\textrm{ V}\). Amplituda natężenia prądu płynącego przez układ zależy od \(\omega.\) Obliczyć maksymalną możliwą wartość tej amplitudy wyrażoną w mA (zaokrągloną w dół do liczby całkowitej). Należy pominąć dodatkową indukcyjność układu wynikającą z okablowania oraz wzajemną indukcyjność cewek.

(1 pkt) Dioda LED jest przykładem elementu, w którym związek natężenia prądu płynącego przez diodę i napięcia na diodzie nie jest opisywany przez prawo Ohma. Tomasz chce zbudować układ zasilający trzy identyczne diody LED, wykorzystując idealne źródło napięcia \(U=10\textrm{ V}.\) Zakładamy, że związek między napięciem na diodzie \(U\) a prądem płynącym przez diodę \(I\) opisuje wzór: \[ I(U)=I_{0}\left(e^{\frac{eU}{nk_{B}T}}-1\right), \] gdzie \(T=20^{\circ}C=293.15\textrm{ K}\) wyraża temperaturę złącza \(p\)-\(n\), \(k_{\textrm{B}}=1.380649\times10^{-23}\textrm{ m}^{2}\textrm{kg}\,\textrm{s}^{-2}\textrm{K}^{-1}\) to stała Boltzmanna, współczynnik \(n=2,e=1.60217663\cdot10^{-19}\textrm{ C}\). Tomasz wie, że przy napięciu 3 V między anodą a katodą przez diodę płynie prąd 1 A. Tomasz użył rezystora \(R\) by ograniczyć prąd płynący przez diody. Jednocześnie zmieniając wartość oporu elektrycznego \(R\), Tomasz może zmieniać natężenie prądu płynącego przez diody i napięcie na diodach, a tym samem zmieniać moc rozpraszaną na diodzie, co przekłada się na moc promieniowania emitowanego przez diodę w spektrum widzialnym (kolokwialnie: ,,jak mocno dioda świeci''). Najmniejszą wartością oporu \(R\) jakiej można użyć w powyższym układzie bez ryzyka spalenia diod jest \(R=1\textrm{ }\Omega\). Wówczas moc prądu elektrycznego wydzielana na każdej z diod to \(P_{0}\). Dla jakiej wartości \(R\) wyrażonej w \(\textrm{m}\Omega\) moc wydzielana na każdej z diod wynosi \(\frac{1}{10}P_{0}\)? Opory okablowania oraz rezystancja wewnętrzna źródła napięcia są pomijalnie małe.

(1/4 pkt) Treść wspólna dla zadań 12-17. Model Isinga to model matematyczny ferromagnetyka. Często używany w fizyce statystycznej, na którego przykładzie można zobaczyć wiele zjawisk występujących w układach złożonych. W modelu Isinga rozpatrujemy spiny \(s_{i}\) przyjmujące wartości -1 lub +1, które są rozłożone na sieci, w naszej sytuacji - kwadratowej. Spiny te mogą oddziaływać ze sobą oraz z zewnętrznym polem magnetycznym. Oddziaływanie to wpływa na całkowitą energię układu. Dla zadanej konfiguracji spinów \((s_{1},s_{2},\ldots,s_{N})\) całkowitą energię w tej konfiguracji wyraża wzór: \[ E=-J\sum_{\langle i,j\rangle}s_{i}s_{j}-h\sum_{i}s_{i}, \] przy czym indeks \(i\) przebiega wszystkie węzły sieci, a zapis \(\langle i,j\rangle\) oznacza sumowanie po wszystkich parach \(i,j\) takich, że \(i,j\) oznaczają węzły sieci połączone krawędzią. Na potrzeby zadania zakładamy, że \(J=1,h=1.\) Przykładowo dla sieci \(3\times 3\), tj. dla sieci o boku L = 3 i konfiguracji jak poniżej (1,-1,1,1,-1,1,1,1,-1), całkowita energia wynosi \(E=-(5-7)J-(6-3)h=2J-3h=-1.\)





Na pytanie ,,z jakim prawdopodobieństwem spiny są w konfiguracji \(s=(s_{1},s_{2},\ldots,s_{N})\)?'' można odpowiedzieć w sytuacji, gdy ferromagnetyk znajduje się w stanie równowagi termodynamicznej i ma temperaturę \(T\) (na potrzeby zadania jest to wielkość bezwymiarowa). Wówczas odpowiedzią jest \[ P(s)=\frac{e^{-E(s)/T}}{Z_{T}},\quad\quad Z_{T}=\sum_{s=(s_{1},\ldots,s_{N})}e^{-E(s)/T}, \] gdzie suma w wyrażeniu na \(Z_{T}\) przebiega po wszystkich konfiguracjach spinów.

Pytanie w zadaniu 12: Ile jest możliwych konfiguracji spinów na sieci kwadratowej o boku L=5?

(1/4 pkt) Ile co najmniej musi wynosić L, aby liczba możliwych konfiguracji przekroczyła liczbę atomów w obserwowalnym Wszechświecie, którą możemy przyjąć jako \(10^{78}\)?

(1/4 pkt) Oblicz \(E(s)\) dla sytuacji przedstawionej na rysunku.

(1/4 pkt) Niech \(R(E_{0})\) oznacza prawdopodobieństwo, że konfiguracja układu ma energię~o wartości \(E_{0}\) (jest to suma wszystkich \(P(s)\) takich, że \(E(s)=E_{0}\)). Ile wynosi \(100/R(0)\) dla układu o \(L=2\) i \(T=10\)? Zaokrąglij odpowiedź w dół do liczby całkowitej.

(1/2 pkt) Ile wynosi 100/R(0) dla układu o \(L=4\) i \(T=10\)? Zaokrąglij odpowiedź w dół do liczby całkowitej.

(1/2 pkt) W modelu Isinga występuje ,,przejście fazowe''. Przy pomocy prawdopodobieństw \(P(s)\) można zdefiniować ,,średnie namagnesowanie'' jako \[ M=\frac{1}{L^{2}}\sum_{s}P(s)\sigma(s), \] gdzie \(\sigma(s)=\sum_{i=1}^{L^{2}}s_{i}\). Jeśli rozpatrujemy \(M\) w funkcji temperatury \(T\) i przy stałym \(h\), wówczas funkcja \(M(T)\) wykazuje matematyczne osobliwości dla pewnej wartości \(T_{0}\). W granicy \(L\to\infty\) dla \(T>T_{0}\) namagnesowanie \(M(T)\to0\) zaś dla \(M(T)\) zbiega do niezerowej wielkości. Oblicz, dla \(L=4\) iloraz \(100M(0.25)/M(4)\) i podaj jako odpowiedź wynik zaokrąglony w dół do liczby całkowitej.